Virágh András zenei tanulmányait a budapesti Bartók Béla Konzervatóriumban kezdte, majd orgonaművész-tanári diplomáját 1983-ban a Liszt Ferenc Zeneművészeti Főiskolán szerezte. Tanárai Virágh Endre és Gergely Ferenc voltak. 1983-ban, a II. Nemzetközi Liszt Ferenc Orgonaversenyen a döntőbe jutott és a Liszt-művek legkiválóbb interpretálásáért elnyerte a Cziffra Alapítvány Különdíját. 1985-ben a liégei Royal Conservatoire ösztöndíjasaként hat hónapot töltött Belgiumban.

1986-ban az ünnepi Liszt-év tiszteletére előadta a mester összes orgonaművét és 1990-ben Cesar Franck halálának 100. évfordulójára emlékezve eljátszotta a nagy francia zeneszerző valamennyi, nagy orgonára írott kompozícióját. 
Virágh András rendszeresen koncertezik Magyarországon és külföldön, repertoárjának gerincét Bach, Franck, Liszt, Reger, Mendelssohn, Brahms, valamint a kortárs magyar orgonaművek alkotják. Külföldi vendégszerepléseinek helyszínei: Olaszország, Ausztria, Németország, Svájc, Belgium, Dánia, Franciaország Szlovákia és Bulgária.
Jelenleg a budapesti Belvárosi Főplébániatemplom karnagya és zeneigazgatója, valamint az Országúti Ferences templom Kapisztrán Kórusának karigazgatója. Rendszeresen orgonál a budapesti Szent István Bazilikában, és a Nemzeti Filharmonikus Zenekar állandó orgonistája. A szombathelyi Konzervatóriumban és a Berzsenyi Dániel Főiskola egyházzene szakán orgonát tanít, főiskolai docens. 

Díjak, kitüntetések:
2001 Liszt-díj
2001 Pro Civibus-díj
2012 Érdemes művész